Έστω X μη κενό σύνολο και C μια κλάση που αποτελείται από τριάδες ((s_d)_{d∈D},x,I), όπου (s_d)_{d∈D} είναι δίκτυο στο X, x∈X και I είναι ιδεώδες του κατευθυνόμενου συνόλου D. Καθορίζουμε τις ιδιότητες που πρέπει να έχει μια τέτοια κλάση και την ονομάζουμε κλάση ιδεώδους σύγκλισης, προκειμένου να υπάρχει μια τοπολογία τ στο X που να ικανοποιεί την ακόλουθη ισοδυναμία: το δίκτυο (s_d)_{d∈D} I-συγκλίνει (C) στο x∈X , όπου I είναι D-αποδεκτό ιδεώδες του D, αν και μόνο αν το (s_d)_{d∈D} I-συγκλίνει στο x, ως προς την τοπολογία τ. Εισάγουμε την έννοια της κλάσης ημι-σύγκλισης στο X για να δώσουμε μια νέα εκδοχή του κλασικού θεωρήματος του Kelley, για τις κλάσεις σύγκλισης δικτύων. Επίσης, εισάγουμε την έννοια της κλάσης ιδεώδους ημι-σύγκλισης C' στο X προκειμένου να εξασφαλίσουμε μια εκδοχή του θεωρήματος του Kelley, σε σχέση με την I-σύγκλιση δικτύων. Συγκεκριμένα, επισημαίνουμε τις ιδιότητες που πρέπει να έχει μια τέτοια κλάση ώστε να υπάρχει μοναδική τοπολογία τ στο X τέτοια ώστε να ικανοποιείται η ισοδυναμία: το δίκτυο (s_d)_{d∈D} I-ημι-συγκλίνει (C') στο x∈X, όπου I είναι ιδεώδες του D, αν και μόνο αν το (s_d)_{d∈D} I-συγκλίνει στο x, ως προς την τοπολογία τ. Εισάγουμε και μελετάμε την έννοια της ιδεώδους-order-σύγκλισης σε posets. Εισάγουμε τοπολογίες σε posets και εξετάζουμε τις ιδιότητές τους. Χαρακτηρίζουμε τα posets στα οποία η ιδεώδης-order-σύγκλιση είναι τοπολογική. Στη συνέχεια, εξετάζουμε μια ασθενέστερη μορφή της ιδεώδους-order-σύγκλισης, που ονομάζεται ιδεώδης-o_2-σύγκλιση. Χρησιμοποιούμε την εκδοχή του θεωρήματος του Kelley, για την I-σύγκλιση δικτύων, αλλά και συγκεκριμένα ανοικτά σύνολα της o_2-τοπολογίας για να δώσουμε εναλλακτικές αποδείξεις ότι η ιδεώδης-o_2-σύγκλιση σε ένα poset είναι τοπολογική αν και μόνο αν το poset είναι O_2-διπλά συνεχές. Επίσης εισάγουμε και μελετάμε την ιδεώδη-lim-inf-σύγκλιση σε poset. Διαπιστώνουμε τη σύμπτωση μεταξύ της επαγόμενης ιδεώδους-lim-inf-τοπολογίας, της lim-inf-τοπολογίας και της τοπολογίας Scott και αποδεικνύουμε ότι η ιδεώδης-lim-inf-σύγκλιση είναι τοπολογική αν και μόνο αν το poset είναι συνεχές. Δίνουμε νέους χαρακτηρισμούς για τα στατιστικά εσωτερικά και εξωτερικά όρια, ακολουθιών κλειστών συνόλων σε μετρικούς χώρους, τα οποία γενικεύουν τα συμβατικά Painleve-Kuratowski εσωτερικά και εξωτερικά όρια. Επίσης, παρέχουμε κριτήρια για τον έλεγχο των Wijsman και Hausdorff στατιστικών συγκλίσεων και εξετάζουμε τη σχέση μεταξύ των Kuratowski και Wijsman στατιστικών συγκλίσεων. Τέλος, εισάγουμε και μελετάμε την έννοια της στατιστικά Cauchy ακολουθίας, ως προς την «εκτεταμένη» μετρική Hausdorff h.
DOI | 10.12681/eadd/47273 |
Διεύθυνση Handle | http://hdl.handle.net/10442/hedi/47273 |
ND | 47273 |
Εναλλακτικός τίτλος | Study of statistical and I-convergences in topological spaces |
Συγγραφέας | Πρίνος, Γεώργιος του Απόστολος |
Ημερομηνία | 2019 |
Ίδρυμα | Πανεπιστήμιο Πατρών. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών |
Εξεταστική επιτροπή | Γεωργίου Δημήτριος Ζαφειρίδου Σοφία Ταχτσής Ελευθέριος Ανδρικόπουλος Αθανάσιος Κεχαγιάς Επαμεινώνδας Παπαδόπουλος Βασίλειος Λαμπροπούλου Σοφία |
Επιστημονικό πεδίο | Φυσικές Επιστήμες ➨ Μαθηματικά |
Λέξεις-κλειδιά | Κλάση ιδεώδους σύγκλισης; Κλάση ημι-σύγκλισης; Κλάση ιδεώδους ημι-σύγκλισης; Ιδεώδης-order-σύγκλιση; Ιδεώδης-order-τοπολογία; Ιδεώδης-o_2-σύγκλιση; Ιδεώδης-o_2-τοπολογία; Ιδεώδης-lim-inf-σύγκλιση; Ιδεώδης-lim-inf-τοπολογία; Kuratowski στατιστική σύγκλιση; Wijsman στατιστική σύγκλιση; Hausdorff στατιστική σύγκλιση |
Χώρα | Ελλάδα |
Γλώσσα | Ελληνικά |
Άλλα στοιχεία | 151 σ., σχημ., ευρ. |
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου